Week: Semaine 9 : 10 novembre - 16 novembre | Analyse I

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Lundi 10 novembre 2025 - EXAMEN BLANC au Polydôme
Inscription obligatoire jusqu'au lundi 3 novembre à 10h00 (lien vers le formulaire). Accès à Google Drive uniquement avec votre adresse prenom.nom@epfl.

Cours (1 période) : 8h15-9h00
Début examen : 9h15
Fin examen : 10h15
Exercices : dès 10h30
Matière couverte : tous les chapitres 1 à 4
Objectifs et questions d'examens
Calculer l'infimum et le suprémum d'un ensemble
Calculer le module et l'argument d'un nombre complexe
Savoir appliquer les propriétés du module et de l'argument (multiplications et division)
Exprimer un nombre complexe sous forme polaire/exponentielle
Calculer les racines n-èmes d'un nombre complexe
Factoriser un polynôme complexe dans $\mathbb R$ (si possible) et dans $\mathbb C$ .
Savoir appliquer le théorème fondamental de l'algèbre (cas général et cas des coefficients réels)
Calculer des limites de suites en utilisant soit des limites connues (cf. liste ci-dessous), soit des techniques algébriques (extraction des puissances dominantes, conjugué)
Savoir appliquer les critères de convergence de suites (2 gendarmes, d'Alembert, monotonie bornée)
Calculer la limsup et la liminf d'une suite
Calculer la limite d'une série géométrique
Savoir appliquer les critères de convergence de séries ( $a_n \to 0$ , comparaison, d'Alembert, séries alternées, Cauchy, Limsup)
Discuter la convergence de séries dépendant d'un paramètre

Matériel autorisé : de quoi écrire (crayons, stylos) et effacer (effaceur, gomme, typex), nourriture, boules quies
Matériel non-autorisé : trousse, papier brouillon (nous en fournissons), formulaire, calculatrice, tout matériel électronique connecté (téléphone portable, montre, etc.)
Select activity Quelques limites à savoir par coeur :$$\lim_{n\to ...
Quelques limites à savoir par coeur :
$\lim_{n\to \infty} n^p = \begin{cases} +\infty & \text{si } p > 0 \\ 1 & \text{si } p = 0 \\ 0 & \text{si } p < 0 \end{cases}\qquad \lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^p} = \begin{cases} 0 & \text{si } p > 0 \\ 1 & \text{si } p = 0 \\ +\infty & \text{si } p < 0\end{cases}$

$\lim_{n\to \infty} r^n = \begin{cases} +\infty & \text{si } r > 1 \\ 1 & \text{si } r = 1 \\ 0 & \text{si } -1 < r < 1 \\ \nexists & \text{si } r \leq -1 \end{cases}\qquad \lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{r^n} = \begin{cases} 0 & \text{si } |r| > 1 \\ 1 & \text{si } r = 1 \\ \infty & \text{si } 0 < r < 1, \\ \nexists & \text{si } -1 \leq r < 0 \end{cases}$

Série géométrique : $\sum_{n = 0}^\infty r^n \quad \begin{cases} \text{converge vers }\frac{1}{1-r} \text{ si } -1 < r < 1 \\ \text{diverge sinon } \end{cases}$

Séries de Riemann : $\sum_{n = 1}^\infty \dfrac{1}{n^p} \quad \begin{cases} \text{converge si } p > 1 \\ \text{diverge sinon } \end{cases}$

Exponentielle : $\lim_{n\to \infty} \left( 1+ \dfrac{x}{n}\right)^n = e^x = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^k}{k!},\qquad \forall x\in \mathbb R.$
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Les questions 3,4 et 13 concernent les suites récursives, qui ne font pas partie de l'examen et que nous verrons plus tard.
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