Weekly outline

  • Analyse 1 (GM) Automne 2019


    Vous êtes sur la page du cours d'Analyse 1 de S. Friedli, donné à la Section de Génie Mécanique (2019).


    Cours:

    • lundi 10h15-12h00, Auditoire CO 1, 
    • mercredi 10h15-12h00, Auditoire CO 1


    Exercices: 

    • lundi 08h15-10h00. La répartition des étudiant(e)s et assistant(e)s se fera d'abord selon le tableau ci-dessous, mais pourra être changé en cours de semestre.
    • Le plan des salles de l'EPFL est ici.
    • Assistante principale: Eva Vidlicková


    Répartition dans les salles d'exercices (PROVISOIRE!):

    répartition temporaire pour les salles d'exercices

    Séance réponse aux questions:

    • Tous les mardis, 17h-19h, salle BS160


    Livre de référence:

    • J. Douchet et B. Zwahlen, Calcul différentiel et intégral (volume 1) "Tronc Commun", (Presses Polytechniques et Universitaires Romandes). Plusieurs exemplaires sont disponibles dans la collection d'enseignement de la bibliothèque du Learning Center de l'EPFL. Des livres sont disponibles à l'achat à la Librairie Polytechnique (Rolex Center).


    Contenu:

    Le contenu du cours suit partiellement celui du livre de Douchet-Zwahlen, avec quelques différences. À titre d'information, voici la table des matières du cours que j'ai donné en 2018:  table_matieres_analyse_Friedli_2018.pdf


    GeoGebra:

    • GeoGebra est un logiciel de pédagogie mathématique très facile à utiliser. Open source, vous pouvez le télécharger gratuitement. Il sera utilisé constamment pendant les cours. J'inclurai ici les fichiers utilisés en auditoire (extension: .ggb) pour que vous repreniez éventuellement certaines parties du cours et puissiez appréhender certains objets de manière plus directe. Très utile!

    Test de préparation à l'examen: 

    • à fixer


    Examen:

    • écrit, 3 heures
    • matériel autorisé: aucun
    • 80% commun avec les autres sections, 20% propre à l'enseignant


  • Semaine 1 (16-20 sept)

    Auditoire lundi:

    • (férié)

    Auditoire mercredi:


    Questions Speakup:

    • Est-ce qu'une fonction injective est forcément continue? Non. Par exemple, la fonction f(x)=x si x\leq 0, f(x)=x+1 si x>0, est injective, mais elle n'est pas continue.


    Remarque
    : la Série n sera toujours étudiée à la séance d'exercices du lundi de la (n+1)-ème semaine. Donc la Série 1 est au programme de la séance de lundi prochain, 23 septembre.
  • Semaine 2 (23-27 sept)

    Matière:


    • Nombres réels: Axiomes
    • Supremum, infimum

    Auditoire Lundi:


    Questions Speakup:

    • Pourquoi est-ce que la 4ème réponse de la première question du Quizz 1 est fausse? L'ensemble image d'une fonction est toujours défini, même si cette fonction n'est pas inversible. Donc on \mathrm{Im}(f) ne se définit pas à l'aide de f^{-1}!
    • Doit-on montrer qu'un ensemble existe avant de le définir? Pas sûr de comprendre. Dire "cet ensemble existe" exige de l'avoir défini auparavant.
    • Vous pourriez prouver que \pi n'est pas rationnel?  Pas dans l'auditoire non, on a un tas d'autres choses à faire avant. Une preuve par l'absurde (due à Hermite) utilise une intégration par parties. Si vous voulez revenir à la fin du semestre on peut en reparler.
    • Pourquoi les réponses 2 du Quizz 2 est elle vraie? L'ensemble des éléments atteint par une fonction injective est obligatoirement fini? Non, merci, erreur de ma part: la réponse n'est pas vraie évidemment. Il y avait aussi la dernière réponse qui n'avait rien à faire là; j'ai modifié les fichiers (voir ci-dessus).


    Auditoire Mercredi:


    Questions Speakup:

    • Avec l’exemple : \{1, 1/2, 1/3 ,\dots\}, on a dit que 0 est le plus grand minorant, mais est ce que dire que \inf ( B ) = 1/n c’est faux? Comme un de vos collègues vous a répondu, l'infimum d'un ensemble, c'est un nombre. Donc si vous dites que "\inf ( B ) = 1/n", vous devriez me dire quel est le n que vous prenez. Et comme 1/n>0 quel que soit l'entier n, la réponse est non, il n'existe aucun n tel que \inf ( B ) = 1/n.



  • Semaine 3 (30 sept-4 oct)

    Matière:
    • Topologie de la droite réelle: ensembles ouverts et fermés
    • Suites: définitions de base
    • Suites convergentes, limite, propriétés
    • Suites qui tendent vers l'infini

    Auditoire Lundi:

    Auditoire Mercredi:

  • Semaine 4 (7-11 oct)

    Matière:

    • Propriétés des suites, exemples
    • Suites qui tendent vers l'infini. Exemples, propriétés
    • Divergence de la série harmonique.
    • Indéterminations, techniques de calculs de limites.
    • Limites particulières, 
    • Série géométrique, applilcation: le nombre e
    • Le critère de d'Alembert
    • Suites de Cauchy
    • Théorème de Bolzano-Weierstrass


    Auditoire lundi:

    Flocon de von Koch


    RAPPEL: La séance de réponses aux questions a lieu le mardi en BS160.


    Questions Speakup (2018):

    • Est-ce que le logarithme croit plus lentement qu’une fonction polynomiale? Oui: \frac{\log_r(n)}{n^p}\to 0 pour tout r>1 et tout p\in\mathbb{N}^*. On peut le déduire à partir de ce qu'on a fait ce matin, passez me demander au prochain cours.
    • Quelle type de suite “gagne” n^r ou r^n? On l'a montré ce matin, \frac{n^p}{r^n}\to 0, donc c'est toujours l'exponentielle qui "gagne".


    Questions Speakup (2017):

    • (Pour montrer que a_n=\frac{n}{n+1} est croissante:) Est-ce qu'on pourrait associer la suite a_n=\frac{n}{n+1} à la fonction f(x)=\frac{x}{x+1}, dériver et montrer qu'elle est croissante? 

    La réponse à votre question est ``oui''. Mais je vais répéter ce que j'ai déjà redit ce matin au début du cours: vous apprendrez beaucoup plus en jouant le jeu et en résolvant des exercices simples avec des méthodes simples vues au cours, plutôt que de mettre en route tout un atirail de méthodes compliquées que vous avez apprises ailleurs. Donc j'ai montré ce matin, en moins d'une ligne, que la suite a_n est strictement croissante. La méthode que vous proposez par contre, comme vous le savez peut-être, repose sur les faits suivants: 1) Il faut savoir dériver (et rappelons que la notion même de dérivée est basée sur la notion de limite, 2) il faut savoir dériver un quotient, 3) il faut savoir étudier le signe de la dérivée, 4) il faut savoir montrer que le signe de la dérivée donne des informations sur la croissance ou la décroissance (Théorème de Rolle et ses conséquences, que nous verrons bien plus tard). Tout ça me semble bien coûteux pour montrer une affirmation que l'on vérifie en une ligne, en utilisant de l'arithmétique élémentaire (dans ce cas, la seule chose que j'ai utilisée au tableau, en fait, c'est que... 2>1).

    Ne me comprenez pas mal: je ne dis pas qu'il ne faut pas utiliser des acquis qui précèdent vos études universitaires. Mais vouloir sans cesse résoudre des problèmes avec des méthodes plus compliquées (vues ailleurs) risque de ne pas vous faire apprécier le contenu du cours, et vous donnera toujours l'attitude de ``ah, mais je peux faire à ma manière''. Et le risque, c'est que dès que vos méthodes ne marcheront plus, il sera trop tard pour tout reprendre dès le début. Je répète: Sortez de votre zone de confort!


    Auditoire mercredi:


    Questions Speakup:

    • Du coup quelle est le meilleur moment pour utiliser d'allembert par rapport au théorème des gendarmes? Personne ne vous dit quelle méthode est meilleure pour étudier une suite! La pratique vous fera sentir peu à peu quelle méthode a une chance de fonctionner dans une situation donnée.
    • Est-ce que la sous suite est unique? Vous parlez de la sous-suite qu'on a construite dans la preuve de Bolzano-Weierstrass?  Non, on pourrait construire d'autres sous-suites. Surtout si on avait pris par exemple L:=\liminf_{n\to\infty}a_n au lieu de L:=\limsup_{n\to\infty}a_n.
    •  (UPDATE: 13 octobre) Faut-il vérifier que an soit différent de 0 pour le critère d'Alembert ? Non, si \rho=0 le critère s'applique aussi! Et notre preuve a couvert ce cas également.
    • Dans la définition du supremum, avec epsilon, est ce que les < ou <= sont importants, car ils sont parfois noté avec le = et parfois sans. Non, ça n'a pas d'importance. C'est comme dans la définition de limite, à part pour le "\epsilon>0", partout ailleurs on peut mettre des "<" ou des "\leq", ça donne des définitions équivalentes, d'où l'intérêt du dernier exercice de la Série 3.


  • Semaine 5 (14-18 oct)

    Matière:

    • Suites de Cauchy
    • Suites définies par récurrence
    • Nombres complexes (début)


    Auditoire lundi:


    Questions Speakup (2018): 

    • Lors de la démonstration du critère de d'Alembert, nous avons supposé que (1+ \epsilon)^{n-N+1} tendait vers l'infini à l'infini car c'est un nombre plus grand que 1 à une puissance infini. Or, nous avons aussi vu que (1+\frac1n)^n à l'infini ne tendait pas vers l'infini mais vers "e".. (alors que c'est aussi un nombre plus grand que 1 à une puissance infini) Quelle est donc la différence entre ces 2 limites ? Très bonne question, qui va me donner l'occasion de répéter quelque chose que j'ai dit au cours de la semaine dernière. En effet, avant de montrer que la suite a_n=(1+\frac1n)^n possède une limite finie 2\leq L\leq 3, j'ai fait remarquer exactement ce que vous dites: d'une part on sait que 1^n\to 1, alors que (1+\epsilon)^n\to \infty dès que \epsilon>0 est fixé. Or pour (1+\frac1n)^n, on n'est ni dans un cas ni dans l'autre! Il faut vous dire que c'est comme si on prenait un \epsilon qui dépend de n, \epsilon_n=\frac1n (donc on ne peut plus le considérer comme étant fixé), mais surtout qui devient toujours plus petit à mesure que n grandit, et c'est ce qui fait que la limite obtenue est non-triviale, strictement plus grande que 1, strictement plus petite que 3...
    Cascades de Feigenbaum


    Auditoire Mercredi:




    Questions Speakup:
    • Dans C, lorsque la partie imaginaire n'est pas nulle, est-ce qu'on peut déterminer si un nombre est négatif ou positif? Non, comme je l'ai dit: dans \mathbb{C}, pas d'inégalités, donc pas de nombres positifs ou négatifs.
    • Question concernant le cours de lundi, log(x) ne satisfait elle pas au critère de cauchy mais ne converge pas? Pardon, ce matin, j'ai répondu au tableau après la pause, et j'ai oublié qu'en fait l'exercice en question est dans la série suivante! Mille excuses. Je vous laisse donc voir l'exercice de la série de lundi, qui contiendra (j'espère) la réponse à votre question: a_n=\ln(n). Si ça n'est pas clair, revenez lundi.
    • Quizz 20 : pourquoi 1/0 est-il une forme indéterminée alors qu'on sait que A/0 = infini? Comment ça "on sait que A/0 = infini"? Une constante (non nulle) divisée par quelque chose de petit, c'est grand, mais ça peut être grand positif ou grand négatif, donc c'est indéterminé.
    • Concernant le quizz 18, pourquoi la première réponse n'est-elle pas correcte ? On a pourtant défini cela comme une propriété pendant le cours. Relisez la définition de ce que veut dire "tendre vers l'infini" pour une suite, vous comprendrez le problème. Comme contre-exemple au point 1 du Quizz 18, je vous donne: a_n=n pour tout n, puis b_n=n si n est pair, 0 si n impair. On a effectivement a_n\leq b_n pour une infinité d'indices (tous les indices pairs justement), pourtant b_n ne tends pas vers l'infini.
    • Serait-il sensé, pour faire de l'analyse, de définir dans la même idée que C, un ensemble des listes de n nombres x1, x2, ... , xn réels de sorte que cet ensemble soit un corps ou y'a-t-il une impasse quelque part ? Bonne question. Je ne sais pas. Jetez peut-être un oeil à https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)
    • Pourquoi est ce que au Quizz 25, la 6 n'est pas correcte ? Est ce que ça ne voudrait pas dire que an est stationnaire à partir dun certain rang N puisque l'on aurait que lim an--> am , pour tout m > N ? Merci. Oups, oui vous avez raison, comme elle est formulée, la 6 est correcte. En fait son contenu n'est pas ce que je voulais, donc je vais la modifier un peu et updater le fichier. Merci!

    Questions Speakup (2017):

    • De toute suite bornée non-convergente on peut extraire deux sous-suites convergentes alors? Oui! Je dirais même: si (a_n) est bornée et ne converge pas, on peut en extraire deux sous-suites qui convergent vers des limites différentes.
    • Quelle est la différence entre une suite et une série? De manière informelle, une série est la somme de tous les termes d'une suite. Par exemple, la série associé à la suite (a_n)_{n\geq 0} est la somme infinie a_0+a_1+a_2+a_3+\cdots\,. C'est délicat: avant de l'écrire, on doit donner un sens à une somme infinie. (On le fera dans deux semaines.)
    • Donc on ne peut plus dire qu'une suite bornée converge. Attention: on n'a JAMAIS dit qu'une suite bornée convergeait forcément. Le meilleur exemple étant a_n=(-1)^n: elle est bornée puisque -1\leq a_n\leq +1 pour tout n, par contre elle ne converge pas. Ce que nous avons dit et prouvé, en revanche, c'est que si une suite converge alors elle est bornée



  • Semaine 6 (21-25 oct)

    Matière: 

    • Nombres complexes (suite et fin)
    • Séries numériques (classe inversée)
    Auditoire lundi:


    Questions Speakup:

    • Existe-t-il un théorème qui dit que le conjugué d’une solution est lui aussi une solution? Oui, mais seulement dans le cas où les coefficients du polynôme sont réels, comme on a vu ce matin.
    • Est ce que le nombre de racines d’un polynome complexe est le degré de ce polynome? Oui, mais comme on a vu ce matin, les racines ne sont pas forcément toutes distinctes, et peuvent avoir une multiplicité plus grande que 1.

    Préparation pour mercredi:

    Version Web de Speakup: https://speakup.graasp.eu/

    Vidéos à visionner (sur http://botafogo.saitis.net):

    • Séries: Définitions, convergence/divergence, exemples
    • Séries: Propriétés des suites convergentes
    • Séries critère de comparaison
    • Séries: critère de la série alternée
    • Séries: Séries du type \sum_n\frac{1}{n^p}

    Auditoire mercredi (CLASSE INVERSÉE):


    Préparation pour lundi:

    Vidéos à visionner:

    • Séries: Séries absolument convergentes
    • Séries: Critère de d'Alembert
    • Séries Critère de Cauchy
    • Séries: Critère de la limite du quotient
    • Séries: Séries avec paramètre

  • Semaine 7 (28 oct-1 nov)

    Matière: 


    • Classe inversée 2: Séries. Séries absolument convergentes, Critères de Cauchy et de d'Aalembert. Séries avec paramètre.
    • Fonctions d'une variable réelle (début), limite en un point, continuité.

    Auditoire lundi (CLASSE INVERSÉE):

    Questions Speakup:
    • Pourquoi noter "Log" pour "logarithme néperien" au lieu de "ln", plus court à écrire ? Je répète, ça n'est pas moi qui l'ai instauré: dans le cours d'Analyse 1 donné ici à l'EPFL, \mathrm{Log} (x) signifie \ln(x)...
    • Comment pouvons nous obtenir les examens des années passées? On vous en donnera plusieurs, plus proche de la fin du semestre.
    • Est-ce que si on fait le critère de d’alembert pour une série et qu on obtient une limite qui oscille strictement en dessous de 1 peut-on conclure quelque chose? Dépend de ce que vous entendez par "strictement en dessous de 1". Venez me poser la question.

    Questions Speakup (2017):

    • Est-ce que la somme des \frac{1}{n \,\mathrm{Log}\,n} converge? NON! Nous verrons plus tard que \sum_{n\geq 2}\frac{1}{n\,\mathrm{Log\,}(n)}=+\infty\,.
    • Existe-t-il un genre de théorème du/des gendarme(s) pour les séries? Le critère de comparaison que nous avons vu ce matin rappelle effectivement le théorème des deux gendarmes, qu'on a énoncé et prouvé pour les suites. Il faut cependant faire attention. Nous avons dit que si 0\leq a_n\leq b_n, et si \sum_nb_n converge, alors \sum_na_n converge aussi. Par contre, nous n'avons jamais dit que la valeur de la somme des a_n était égale à la valeur de la somme des b_n!
    • Est-ce que la somme 1+2+3+\cdots converge? Non, elle diverge bien-sûr! Comme s_n=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}, on a s_n\to+\infty lorsque n\to \infty.
    • C'est quoi la différence entre série et suite? Et bien regardez la définition de ce matin: une série, c'est la somme des éléments d'une suite

    Auditoire mercredi:


    Questions Speakup (2018):


    • Pourrions nous interpréter le critère de d’Alembert de la manière suivante pour \frac{1}{n^p}: donc ca nous ferait \gamma= \lim_{n\to\infty} \bigl|\frac{n^p}{(n+1)^p}\bigr|, or on sait que le terme (n+1)^p est toujours un peu plus grand que n^p, du coup \gamma sera toujours plus petit que 1, de ce fait, dû au critère la série converge (on part du principe que p\geq 1). Bonne question; mais la réponse est: NON, SURTOUT PAS! Dans le critère de d'Alembert (dans celui de Cauchy aussi d'ailleurs), il faut vraiment regarder la VALEUR DE LA LIMITE du quotient. Or la limite c'est exactement \gamma=1, et donc le critère ne permet pas de conclure. Pour vous convaincre que votre argument ne marche pas: Si je prends a_n=\frac{1}{n}, alors votre argument dirait que \gamma "est un peu plus petit que 1" (ce qui est faux), et donc la série converge. C'est bien-sûr faux puisque la série harmonique diverge.
    • Pourquoi ça suffit de monter que la sous suite de Sn est borné? Attention: il faut supposer que la suite est monotone, sinon ça n'est pas vrai. Donc oui, si vous avez une suite monotone (disons croissante), et si une sous suite est bornée, alors la suite entière est bornée aussi. À démontrer en exercice! 

    Questions Speakup (2017):

    • Qu'est-ce que le domaine? Est-ce le domaine de définition? Oui, le domaine D d'une fonction f:D\to \mathbb{R}, c'est l'ensemble des x pour lesquels f(x) est bien définie.  
    • Pourquoi f(x)=x+1 n'est ni paire ni impaire, c'est juste un décalage de la droite y=x, ne peut-on pas considérer un décalage des axes x et y? Les définitions de paire et impaire regardent comment se transforme la fonction sous la transformation x\leftrightarrow -x, donc il s'agit toujours de regarder une transformation de x par rapport à l'origine. Si vous voulez transformer x en autre chose, par rapport à un autre axe (par exemple transformer x en 1-x) vous pouvez, mais alors on ne parle plus de "paire" ou "impaire". Venez me voir si vous voulez pour en discuter. 
    • Les preuves il faut juste les comprendre ou il faut savoir les refaire pour l'examen? L'examen contiendra des parties théoriques. Plus vous connaissez les arguments classiques de l'analyse, que l'on utilise constamment dans les preuves, plus vous aurez de la facilité à comprendre ce qu'on vous demande et à répondre de manière précise.

  • Semaine 8 (4-8 nov.)

    Matière:

    • Limite en un point.
    • Limites latérales
    • Propriétés de la limite
    • Limites infinies en un point
    • Limites à l'infini
    • Continuité: définition, exemples.
    • Les fonctions continues sur les ensembles compacts.
    • Théorème de la valeur intermédiaire, applications


    Auditoire lundi:

    Questions Speakup: 

    • Pourquoi chercher les limites des fonctions \sin(x) et \cos(x) en x_0=0 si ces dernières sont définies en x=0 ? Si c'est nécessaire, est-ce que cela signifierait que sin(0)=0 et cos(0)=1 sont des conventions?

    Je vais vous répondre en deux fois.
    1. D'abord, très important: c'est pas parce qu'une fonction est définie en un point x_0 qu'on n'a pas besoin d'étudier \lim_{x\to x_0}f(x)!! Justement, comprendre ceci a tout à voir avec la continuité. Parce que si on vous disait d'avance que "cette fonction, en fait elle est continue en x_0", vous sauriez qu'en calculant \lim_{x\to x_0}f(x), vous devriez trouver f(x_0). Mais si vous ne savez PAS si la fonction est continue en x_0, alors a priori, en calculant \lim_{x\to x_0}f(x), vous pourriez très bien trouver quelque chose de très différent de f(x_0). Donc dans le cas précis que vous mentionnez, que j'ai traité AVANT de parler de continuité, il s'agissait simplement de voir comment traiter ces limites seulement à partir des définitions de sinus et cosinus, via le cercle trigonométrique.
    2. Les fonctions trigonométriques, dans ce cours, sont simplement définies à partir du cercle trigonométrique. Mais si on voulait les définir à partir de la trigonométrie, genre "sinus=côté opposé divisé par hypothénuse", alors on ne saurait pas dire ce que vaut \sin(0) (car pas de triangle!), et oui pourquoi pas, notre calcul serait un moyen (un peu coûteux) de dire comment définir "\sin(0)".

    Questions Speakup (2018): 

    • Peut on dire que (-1)^x est une fonction réelle étant donné qu’elle est définie dans \mathbb{R} pour des nombres entiers et dans \mathbb{C} pour des valeurs non entières? Si vous voulez la définir dans les complexes, oui vous pouvez. Mais dans les réels il y a un problème puisqu'elle n'est pas définie en x=\frac12.
    • Selon la dernière propriété des supremums et infimums des fonctions (celui avec alpha et beta), le sup suit la propriété des applications linéaires [Sup(alpha * f) = alpha * Sup(f)] mais vous avez mentionné que les sup ne sont pas linéaires. Alors, on les traite comment? C'est vrai, j'ai dit que  si \alpha>0 et \beta\in\mathbb{R} sont des constantes, alors \sup_A(\alpha f+\beta)=\alpha \sup_A f+\beta. Mais ceci n'implique évidemment pas la linéarité, qui serait quelque chose comme "\sup_A(\lambda_1f_1+\lambda_2f_2)=\lambda_1\sup_A(f_1)+\lambda_2\sup_A(f_2), pour toutes fonctions f_1,f_2, et pour toutes constantes \lambda_1,\lambda_2\in \mathbb{R}". (Je vous ai demandé de vérifier en exercice que ça n'est pas vrai en général.) Donc si vous vous trouvez face à \sup_A(f+g), il faut le calculer, vous ne pouvez pas utiliser de formule!

    Questions Speakup (2017):

    • Pourquoi calculer une limite (qui peut se faire en une ligne) en un paragraphe? Je pense savoir quelle est votre question, mais il serait bien que vous la reposiez de manière plus claire. Je ne ferai qu'une remarque: j'ai défini la limite ce matin, et je n'ai encore donné AUCUNE de ses propriétés. En particulier, je n'ai donné aucune technique permettant de calculer des limites sans utiliser la définition. Donc si je m'en tiens à ce que j'ai présenté au cours, je doute que vous ayiez un moyen différent ("en une ligne") de calculer ces limites.
    • Il y aura des démonstrations dans les questions ouvertes? Sous quelle forme seront-elles? Oui, la partie ouverte peut très bien contenir des questions théoriques.


    Auditoire mercredi:


    Questions Speakup:
    • Si on a une fonction continue sur un intervalle fermé et borné et que f(a)=f(b), on ne peut donc pas utiliser le TVI. Mais est-ce que l'on ne pourrait pas construire un théorème équivalent en utilisant le min et le max de la fonction puisqu'ils existent au lieu de f(a) et f(b) ? Pas sûr de comprendre votre question... il faudra me la poser plus clairement lundi!
    • Un intervalle fermé n’est-il pas forcément borné ? Quelle est la différence entre un intervalle fermé et un intervalle borné ? L'intervalle ]0,1[ est borné, mais il n'est pas fermé. L'intervalle [0,+\infty[ est fermé, mais il n'est pas borné.
    • Dans votre algorithme de bisection que se passe t'il si le point f(c)=h n'est pas unique? L'algorithme de ce matin ignore complètement la possibilité d'avoir plusieurs c qui satisfont f(c)=h. Il se met en marche, et à la fin il me donne un c. Je vous laisse éventuellement modifier un peu la formulation pour trouver d'autres éventuels points.
    • Bonjour, Dans le quizz 43, vous avez indiqué la réponse C comme correcte, mais il me semble qu'on peut prendre le contre exemple de n'importe quelle fonction qui tend vers un nombre plus petit que les autres fonctions définies dans l exercice... Merci de m'éclairer. Oui, vous avez raison, plusieurs m'ont fait remarquer ce matin qu'il y avait cette faute dans le Quizz 43, que j'ai corrigée en updatant le fichier à l'instant.
    • Je peux vous poser une question? Bien-sûr.

  • Semaine 9 (11-15 nov)

    Matière:

    • Dérivée (introduction), fonctions dérivables
    • L'opérateur de dérivation.
    • Les fonctions dérivables sont continues
    Auditoire lundi:


    Auditoire jeudi:

  • This week

    Semaine 10 (18-22 nov.)

    Matière:

    • Théorème de Rolle
    • Théorème des accroissements finis
    • Conséquences
    • Règle de Bernoulli-l'Hôpital, applications.
    Auditoire lundi:


    Questions Speakup:

    • Par rapport a l’ex5(serie9), existe-t-il une fonction qui a une derivée periodique mais qui ne l’est pas? J'imagine que vous vouliez dire: Existe-t-il une fonction dérivable partout, dont la dérivée est périodique, mais qui n'est elle-même pas périodique? Si c'est ça alors oui (bonne question): prenez par exemple f(x)=x+\sin(x).
    • Une suite qui diverge a pour limite l'infini. Toute suite divergente est elle donc fortement divergente ? STOP! Une suite qui diverge ne veut pas forcément dire qu'elle tend vers l'infini. (Elle peut aussi osciller dans un intervalle, ou faire d'autres choses encore.)
    • Dans l’exercice 4 de la série 5, pour montrer qu’une suite converge et calculer sa limite, au lieu de supposer sa limite et de la trouver en prenant la limite n tends vers infini dans l’expression de a(n+1)=g(an) est qu’on peut dire que si g(x) est croissante sur l’intervalle où a(n) est définie, alors a(n) est monotone et la limite correspond au point fixe de a(n) (ce qu’on a vu graphiquement a l’exercice 3 de la même série)? (Vous vouliez dire: le point fixe de g.) Faites attention: si g a plusieurs points fixes, votre étude doit pouvoir distinguer vers quel point fixe la suite converge. Comme dans l'Exercice 5 de la même 5.
    • Dans l'exemple du point 7.5.1, si a et b sont tels que f est continue et dérivable en x=0, serait-il possible de trouver une fonction g tel que g(x)=f(x) pour tout x, et tel que g ne soit pas définie par morceaux? Je ne suis pas sûr de comprendre, mais je sens une question intéressante. Vous passez me poser la question mercredi?
    • Dans l'exemple de la particule en excès de vitesse, est-ce que si elle avait suffisamment ralenti pour mettre suffisamment de temps à croiser les gendarmes, elle aurait pu éviter une amende malgré l'excès de vitesse intermédiaire? Oui. Si la particule s'arrête pour faire un pique-nique au milieu de la forêt, loin du regard indiscret des gendarmes, ces derniers vont calculer (lorsque la particule leur passe finalement devant) une vitesse moyenne minuscule, donc le TAcF ne leur permettra pas de coller une amende...

    Examen blanc, mercredi 20 novembre:

    • Heure: 8h15, lieu: Auditoire CO1 (SVP: attendez que l'on vous appelle pour rentrer)
    • Vous trouvez votre numéro dans la première colonne de cette liste:
    • Prenez un stylo/crayon noir, qui marque bien le papier, ainsi que du papier brouillon.
    Auditoire mercredi:

    • Notes de cours: