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\newenvironment{ex}{\stepcounter{Exe}\textbf{Exercice \arabic{Exe}.}\ }{\bigskip}

\begin{document}

{\scshape Epfl} --- Cours Euler \hfill 22.04.2026 \linebreak
Deuxi\`eme ann\'ee
\vskip 2mm
\begin{center}
{\Large\textbf{S\'erie 29}}
\end{center}
\vskip 2mm \hrule \vskip 7mm


\begin{ex}
On considère l'espace vectoriel $V_1$, la droite réelle. Détermine toutes les bases de $V_1$.
\end{ex}

\begin{ex}{\bf Systèmes de générateurs.}
Détermine si les vecteurs suivants de $V_n$ forment un système de générateurs.

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 2
\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 3
\end{pmatrix}$;


\item $\begin{pmatrix} 4\\ 5
\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 4\\ 6
\end{pmatrix}$;


\item $\begin{pmatrix} 1\\ 1
\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 2\\ 2
\end{pmatrix}$;


\item $\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}$,  $\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}$.
\end{multicols}
\end{enumerate}


\end{ex}


\begin{ex}{\bf Bases.}
Dans chacun des cas suivants, d\'etermine si le vecteur nul est une combinaison lin\'eaire \emph{non triviale} (c'est-\`a-dire dont au moins un des coefficients est non-nul) des vecteurs donn\'es. Ces vecteurs forment-ils alors une base $\mathcal{B}=(\vv{v_1};\ldots;\vv{v_n})$ de $V_n$?

\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\vv{v_1}=\begin{pmatrix} 1\\ 10
\end{pmatrix}$ et $\vv{v_2}=\begin{pmatrix} -10\\ -1
\end{pmatrix}$;


\item $\vv{v_1}=\begin{pmatrix} 1\\ 1
\end{pmatrix}$ et $\vv{v_2}=\begin{pmatrix} -1\\ -1
\end{pmatrix}$;


\item\label{ex3c} $\vv{v_1}=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3
\end{pmatrix}$, $\vv{v_2}=\begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ 4
\end{pmatrix}$  et $\vv{v_3}=\begin{pmatrix} 3\\ 4 \\ 5
\end{pmatrix}$;

\item $\vv{v_1}=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3
\end{pmatrix}$, $\vv{v_2}=\begin{pmatrix} 3\\ 4 \\ 5
\end{pmatrix}$  et $\vv{v_3}=\begin{pmatrix} 6\\ 7 \\ 8
\end{pmatrix}$;



\item $\vv{v_1}=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3
\end{pmatrix}$, $\vv{v_2}=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 4
\end{pmatrix}$  et $\vv{v_3}=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 5
\end{pmatrix}$;


\item $\vv{v_1}=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}$, $\vv{v_2}=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}$  et $\vv{v_3}=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}$.
\end{multicols}
\end{enumerate}
\textit{Indication:} Pour \textbf{\ref{ex3c}}, calcule les différences de deux des trois vecteurs.

\end{ex}


\begin{ex}
Démontre que les vecteurs $\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3
\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ 4
\end{pmatrix}$  et $\begin{pmatrix} 3\\ 4 \\ 5
\end{pmatrix}$ de $V_3$ sont coplanaires.
\end{ex}


\begin{ex} Vrai ou faux? Justifie tes réponses!
\begin{enumerate}
\item Une base de $V_3$ forme aussi une base de $V_2$.
\item Si $(\vv{u}; \vv{v})$ est une base de $V_2$, alors pour tout vecteur $\vv{w}$ de $V_2$, les vecteurs $\vv{u}, \vv{v}, \vv{w}$ forment un système de générateurs.
\item Le vecteur nul ne fait jamais partie d'une base.
\item Soit $\vv{w}$ un vecteur de $V_2$. Il existe toujours une base de $V_2$ dont $\vv{w}$ fait partie.
\item Soit $\vv{w}$ un vecteur de $V_2$ non nul. Il existe toujours une base de $V_2$ dont $\vv{w}$ fait partie.
\item Soit $\vv{w}$ un vecteur de $V_3$. Il existe toujours une base de $V_3$ dont $\vv{w}$ fait partie.
\item Soit $\vv{w}$ un vecteur de $V_3$ non nul. Il existe toujours une base de $V_3$ dont $\vv{w}$ fait partie.
\item 3 vecteurs de $V_3$ deux \`a deux lin\'eairement ind\'ependants forment toujours un syst\`eme de g\'en\'erateurs.
\item 4 vecteurs de $V_3$ deux \`a deux lin\'eairement ind\'ependants forment toujours un syst\`eme de g\'en\'erateurs.
\end{enumerate}
\end{ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage


\end{document}
