Algèbre linéaire avancée II - diagonalisation
Weekly outline
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Objectifs
L’objectif du cours est d’introduire les notions de base de l’algèbre linéaire et de démontrer rigoureusement les résultats principaux de ce sujet.
Contenu
- Polynômes: irréductibilité, factorisation, algorithme d'Euclide, matrice de Vandermonde.
- Valeurs propres et vecteurs propres : polynôme caractéristique, matrices semblables, diagonalisation, théorème de Cayley-Hamilton.
- Produits scalaires: bases orthogonales, méthode de Gram-Schmidt, matrices orthogonales, méthode des moindres carrés, théorème spectral, décomposition en valeurs singulières.
- Formes: formes linéaires, espace dual, formes bilinéaires, formes sesquilinéaires, matrices symétriques et hermitiennes, théorème de Sylvester.
- Systèmes d’équations différentielles linéaires, forme normale de Jordan, exponentielle d'une matrice.
- Algèbre linéaire sur les entiers: formes normales de Hermite et Smith, solution des systèmes linéaires sur les entiers, groupes abéliens de type fini.
Organisation
Le cours et les séances d’exercices se dérouleront en présentiel le mardi et le vendredi. Les cours commencent le 18/02 et les exercices le 21/02.
La participation aux séances d'exercices est une partie importante du cours. Pendant ce temps, vous pouvez poser des questions aussi bien sur les séries d'exercices que sur le cours.
Chaque semaine, il y aura une série d’exercices qui sera discutée le vendredi après-midi et deux exercices qui seront présentés lors des sessions du mardi. Les séries de chaque vendredi seront mises en ligne le lundi et les solutions le vendredi d’après. Les séries et les notes de cours seront sur Moodle. Il y a également un forum Ed Discussion où vous pourrez poser vos questions. N'hésitez pas à vous répondre mutuellement. Les assistants passeront aussi régulièrement sur le forum.
Un exercice avancé de chaque série sera présenté le mardi d’après ainsi qu’un exercice préparatoire pour la série suivante. La session du mardi sera également consacrée à répondre à vos questions sur le cours.
Pour les exercices du vendredi, les étudiants sont répartis parmis les trois salles suivantes (selon leur nom de famille) :
CM1121 : étudiants avec sciper congruent 0 modulo 2
CM1221 : étudiants avec sciper congruent 1 modulo 2Assistants
Voici une liste des adresses e-mail des assistants étudiants ainsi que des assistants doctorants pour le cours de cette année :
Assistant principal :
claudio.pfammatter@epfl.ch
Assistants étudiants :
aleksandra.bogdanova@epfl.ch
benoit.cuenot@epfl.ch
emna.boughizane@epfl.ch
leonard.lebrun@epfl.ch
patrick-cristian.dan@epfl.ch
rafael.sierra@epfl.ch
sandro.pfammatter@epfl.ch
solveig.girardin@epfl.chAssistants doctorants :
eleonore.bach@epfl.ch
emre.ozavci@epfl.ch
mariana.martinezaguilar@epfl.ch
michele.barucca@epfl.ch
niklas.schmitz@epfl.chTake-Home Exams
Pendant le semestre, il y aura trois occasions de résoudre un exercice un peu plus difficile sous la forme d'un Take-Home Exam, qui sera ensuite corrigé par les assistants. La remise de ces exercices est facultative et n'a aucune influence sur la note finale. Cependant, il s'agit d'une bonne occasion d'obtenir un feedback sur la rédaction de solutions mathématiques.
Ces exercices sont disponibles sur Moodle à partir de lundi 13:00 jusqu'au dimanche d'après 23:59 selon les dates suivantes :
-17.03. - 24.03.
-07.04. - 14.04.
-sera annoncé ultérieurementChaque Take-Home Exam est divisé en deux parties : un QCM et une question ouverte. La question ouverte doit être rendue sur Moodle en format PDF. Les notes écrites à la main ne sont pas autorisées : il faut écrire votre solution sur LaTeX (l'utilisation d'Overleaf est recommandée, voir ci-dessous).
Introduction à Overleaf
Overleaf est un éditeur en ligne pour créer des PDFs à partir de fichiers .tex.
Une introduction peut être trouvée ici et voici une vidéo expliquant comment écrire des formules mathématiques sur LaTeX.
Après compilation du pdf sur Overleaf, il vous faudra télécharger le pdf et l'uploader sur Moodle. Des instructions sont disponibles ici.Bibliographie
Il existe de nombreux livres d’algèbre linéaire. Le cours ne suit aucun de ces ouvrages de manière systématique, mais bien des matières du cours se trouvent dans ces livres.
Voici un choix :
S. Lang, Linear algebra, 3rd edition, Springer, 1987.
R. Cairoli, Algèbre linéaire, Presses Polytechniques Universitaires Romandes, 1999.
R. Bellman, Introduction to matrix analysis, second edition, SIAM Classics in Applied Mathematics, 1997.
K. Houston, Comment penser comme un mathématicien, De Boeck, 2011.
M. Artin, Algebra, Pearson, 2nd edition, 2010.
De nombreux exercises corrigés se trouvent dans les ouvrages:
R. Dalang, A. Chabouni, Algèbre linéaire, Presses Polytechniques Universitaires Romandes, 2e édition, 2004.
D. C. Lay, Algèbre linéaire : théorie, exercices et applications, Pearson, 4e édition, 2012.
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Attention : Les notes de cours sont constamment actualisées. A la fin du cours, ils reflèterons le contenu du cours.
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Présentation initiale
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Voici le lien vers les enregistrements vidéo du cours de l'année 2021.
Attention : Aucune correspondance avec les cours de cette année n'est garantie. Le contenu peut varier considérablement.
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Cette semaine a lieu le premier Take-Home Exam. Vous pouvez répondre aux questions à choix multiples directement via Moodle et, si vous le souhaitez, télécharger un PDF de votre solution pour la question ouverte.
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Cette semaine a lieu le deuxième Take-Home Exam. Vous pouvez répondre aux questions à choix multiples directement via Moodle et, si vous le souhaitez, télécharger un PDF de votre solution pour la question ouverte.
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Il n'y aura pas de session d'exercice le vendredi (vendredi saint - jour férié).
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Vacances de Pâques!
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En raison du festival Balélec, la séance d'exercices du 02/05/2025 dans la salle CM1221 aura aussi lieu dans la salle CM1121.
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En raison du festival Balélec, les séance d'exercices du 09/05/2025 dans la salle CM1221 aura lieu dans la salle GR B3 30. L'autre salle d'exercices n'est pas concernée.
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Corrigé 12 File
